正弦定理的定义和常见变形

一、正弦定理的定义和常见变形

1、正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即$frac{a}{sin A}=$$frac{b}{sin B}=$$frac{c}{sin C}$。

2、正弦定理常见的变形

（1）$a=2Rsin A$，$b=2Rsin B$，$c=2Rsin C$；

（2）$sin A=frac{a}{2R}$，$sin B=frac{b}{2R}$，$sin C=frac{c}{2R}$；

（3）$sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c$；

（4）$frac{sin A}{sin B}=frac{a}{b}$，$frac{sin B}{sin C}=frac{b}{c}$，$frac{sin C}{sin A}=frac{c}{a}$；

（5）$frac{a}{sin A}=$$frac{b}{sin B}=$$frac{c}{sin C}=$$frac{a+b+c}{sin A+sin B+sin C}$。

3、利用正弦定理可以解决的问题

（1）已知两角和任一边，求另一角和其他两条边。

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。

二、正弦定理的相关例题

以下关于正弦定理的叙述和变形错误的是___

A．在$△ABC$中，$a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C$

B．在$△ABC$中，$sin 2A=sin 2B$，则$a=b$

C．在$△ABC$中，$sin A>sin BLeftrightarrow a>b$

D．在$△ABC$中，$frac{a}{sin A}=$$frac{a+b+c}{sin A+sin B+sin C}$

答案：B

解析：对于A，在$△ABC$中，由正弦定理可得$a=2Rsin A$，$b=2Rsin B$，$c=2Rsin C$，故有$a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C$，故A成立；对于B，若$sin 2A=sin 2B$，等价于$2A=2B$，或$2A+2B=π$，可得：$A=B$，或$A+B=frac{π}{2}$，故B不成立；对于C，∵若$sin A>sin B$，由正弦定理可知，$frac{a}{2R}>frac{b}{2R}$，∴$a>b$，故C正确；对于D，由$frac{a}{sin A}=$$frac{b}{sin B}=$$frac{c}{sin C}$，再根据比例式的性质可得D成立。故选B。