数列的递推公式

一、数列的递推公式

如果已知数列${a_n}$的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

注：（1）并不是所有数列都有递推公式。

（2）递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号$n$的恒等式，即用符合要求的正整数依次去替换$n$，就可以求出数列的各项。

（3）用递推公式给出一个数列，则必须给出：

①基础——数列${a_n}$的第一项（或前几项）。

②递推关系——数列${a_n}$的任意一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（$ngeqslant 2$）（或前几项）间的关系，并且这个关系可以用等式来表示。

二、数列的递推公式的相关例题

已知数列${a_n}$满足递推关系$a_{n+1}=frac{a_n}{1+a_n}$，$a_1=frac{1}{2}$，则$a_{2017}=$____

A．$frac{1}{2016}$ B．$frac{1}{2018}$

C．$frac{1}{2017}$ D．$frac{1}{2019}$

答案：B

解析：由$a_{n+1}=frac{a_n}{1+a_n}$，所以$frac{1}{a_{n+1}}=frac{a_n+1}{a_n}=frac{1}{a_n}+1$。

则$frac{1}{a_{n+1}}-frac{1}{a_n}=1$，又$a_1=frac{1}{2}$，所以$frac{1}{a_1}=2$，

所以数列$egin{Bmatrix}dfrac{1}{a_n}end{Bmatrix}$是以2为首项，1为公差的等差数列。

所以$frac{1}{a_n}=n+1$，则$a_n=frac{1}{n+1}$，

所以$a_{2017}=frac{1}{2018}$。

故选B。